가산집합 문서 원본 보기

영어로는 countable set이라고 한다. 가산(Countable)=count+able, 곧 셀 수 있는 [[집합]]을 뜻한다. 수학스러운 표현으로는 '자연수와 1대 1 대응할 수 있는 함수가 존재하는 집합'이다.

[[수학]]적으로 볼 때 '셀 수 있다'는 것은 순서를 매길 수 있다는 뜻이다. 유한할 필요는 없다. 당장에 가산집합의 정의가 [[자연수]]와 1:1 대응, 즉 전단사함수가 존재한다는 것인데, 자연수부터가 무한집합이다. 그 어떤 어마어마하게 큰 [[자연수]]를 골라도 그 수 '번째' [[자연수]]다. [[정수]]도 마찬가지다. 0이 첫 번째이고, 임의의 자연수 <math>n</math>의 순서는 절댓값을 사용해서 <math>2|n|+1</math>, <math>-n</math>의 순서는 <math>2|n|+2</math>로 하면 어떤 정수든 다 순서를 매길 수 있다. 반대로 자연수보다 확실히 더 작을 것 같은 무한집합도 자연수와 1대 1 대응할 수 있다. 예를 들어 짝수라면 <math>\frac{n}{2}</math>로 자연수와 1:1 대응할 수 있다.

그럼 [[유리수]]는? 아닐 것 같은데? 예를 들어서 0.000000001은 몇 번째 수인데? <math>\frac{1}{3}</math>, 그러니까 0.3333333...이 끝없이 이어지는 무한소수는? 이걸 순서를 매기는 게 말이 되나?

그러나 [[유리수]]는 카운터블 집합이다. 왜? 어떻게?

유리수는 <math>\frac{n}{m}</math>과 같은 분수로 표현할 수 있는 수다. 그러면 아래 표처럼 분수를 배열할 수 있다.

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열은 분모, 행은 분자로 한다. 그리고 화실표로 나타낸 것처럼 표를 지그재그로 오가면서 순서를 배열하면 어떤 분수든 순서가 생긴다. 무한소수인 <math>\frac{1}{3}</math>도 1행 3열에 배치될 수 있다. 따라서 유리수는 카운터블 집합이다.

[[무리수]]는 어떨까? [[실수]]는 [[무리수]]와 [[유리수]]를 합친 것이다. [[실수]]가 [[불가산집합]]이므로 실수에서 카운터블인 [[유리수]]를 뺀 [[무리수]]는 불가산집합이다. 칸토르의 대각논법을 사용하면 실수가 [[불가산집합]]인 것을 증명할 수 있다. 자연수에서 실수로 가는 전단사함수가 있다고 가정하고, 어떤 임의의 n번째와 n+1번째 실수를 취해도 그 사이에 다른 실수가 존재함을 입증함으로써 모순이 있음을 입증한 것. 정확하게는 칸토르는 유리수와 무리수를 합친 실수가 자연수보다 '많다'는 것을 입증한 것이다. 무한의 개념에서 '많다'는 것은 1:1 대응이 불가능하다는 것이므로 가산집합이 아니라는 것이며, 유리수는 가산집합이므로 무리수는 불가산집합이 된다.

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