가산집합

Countable=count+able, 곧 셀 수 있는 집합을 뜻한다. 수학스러운 표현으로는 '자연수와 1대 1 대응할 수 있는 함수가 존재하는 집합'이다. 대표격이라 할 수 있는 집합은 양 한 마리, 양 두 마리, 양 세 마리... 우리나라에 양이 있기는 하냐? 네? 양곱창이 그 양 아니었나요?

수학적으로 볼 때 '셀 수 있다'는 것은 순서를 매길 수 있다는 뜻이다. 유한할 필요는 없다. 자연수는 무한집합이지만 순서를 매길 수 있다. 그 어떤 어마어마하게 큰 자연수를 골라도 그 수 '번째' 자연수니까. 정수도 마찬가지다. 0이 첫 번째이고, 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 순서는 [math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math], [math]\displaystyle{ -n }[/math]의 순서는 [math]\displaystyle{ 2n+2 }[/math]로 하면 어떤 정수든 다 순서를 매길 수 있다.

그럼 유리수는? 아닐 것 같은데? 예를 들어서 0.000000001은 몇 번째 수인데? 1/3, 그러니까 0.3333333...이 끝없이 이어지는 무한소수는? 이걸 순서를 매기는 게 말이 되나?

그러나 유리수는 카운터블 집합이다. 왜? 어떻게?

유리수는 [math]\displaystyle{ \frac{n}{m} }[/math]과 같은 분수로 표현할 수 있는 수다. 그러면 아래 표처럼 분수를 배열할 수 있다.

섬네일을 만드는 중 오류 발생: 파일이 없음

열은 분모, 행은 분자로 한다. 그리고 화실표로 나타낸 것처럼 표를 지그재그로 오가면서 순서를 배열하면 어떤 분수든 순서가 생긴다. 무한소수인 [math]\displaystyle{ \frac{1}{3} }[/math]도 1행 3열에 배치될 수 있다. 따라서 유리수는 카운터블 집합이다.

무리수는 어떨까? 실수는 무리수와 유리수를 합친 것이다. 실수가 언카운터블 집합이므로 실수에서 카운터블인 유리수를 뺀 무리수는 언카운터블이다. 그런데 실수는 왜 언카운터블이에요? 이 페이지의 여백이 좁아서...